鴨川のはりねずみ

[SymPy] Lie変換摂動論の方程式の導出

物理学
解析力学
SymPy

Lie 変換摂動論 (特に Hori (1966) の定式化) の基礎方程式は, Hamiltonian $H$ および Lie 変換の生成関数 $W$, 変換後の Hamiltonian $K$ に関する等式 $$K = \exp ( L_W ) H$$ です. $L_W$ は $W$ に関する Lie 微分 $L_W f = \{ f, W \}$ です (括弧は Poisson 括弧). ここで $H$, $W$, $K$ の摂動展開 $$H = H_0 + \epsilon H_1 + \epsilon^2 H_2 + \cdots$$ $$W = \epsilon W_1 + \epsilon^2 W_2 + \cdots$$ $$K = K_0 + \epsilon K_1 + \epsilon^2 K_2 + \cdots$$ を上式に代入し, $\epsilon$ のべきで整理することにより摂動が計算できます.

ただ右辺を $\epsilon$ のべきに展開するのは, 特に高次摂動が必要なときやや面倒です. こういうことは SymPy でさくっと計算しましょう. Poisson 括弧は SymPy には実装されていないようなのですが, 量子力学の交換子 (sympy.physics.quantum.commutator.Commutator) で代用できます.

'''Lie 変換摂動論で必要な摂動展開を計算する'''

from sympy.physics.quantum import Commutator, Operator
from sympy import symbols, factorial

# 計算する次数 #
Nmax = 5
################

e = symbols('e')
H = [Operator('H{}'.format(n)) for n in range(Nmax)]
K = [Operator('K{}'.format(n)) for n in range(Nmax)]
W = [Operator('W{}'.format(n)) for n in range(Nmax)]
W[0] = 0

def LieDeriv(W, f):
    return Commutator(f, W).expand(commutator=True)

def LieMap(W, f):
    s = 0
    for n in range(Nmax):
        e = f
        for i in range(n):
            e = LieDeriv(W, e)
        s = s + e.expand(commutator=True) / factorial(n)
    return s

def rhs_raw():
    return LieMap(
        sum(e**i * w for i, w in enumerate(W)),
        sum(e**i * w for i, w in enumerate(H)),
    ).expand(commutator=True)


rhs = rhs_raw()

for n in range(Nmax):
    print( 
        rhs.coeff(e, n)
    )

すくなくとも4次までは Hori (1966) に記述されているものと一致したので, おそらくこれで正しいと思います. ただし処理がかなり遅いので注意してください.

参考文献