鴨川のはりねずみ

高次元ガンマ行列

物理学
場の量子論
SymPy
目次

高次元ガンマ行列の具体形を計算します.

定義

ガンマ行列 (Clifford 代数) まわりは記法が混乱していて厄介なのですが, 本記事では Weinberg (1.1.21), (5.4.5), (32.A.1) および Woit pp. 521, 605 に従って, ガンマ行列 $\gamma_\mu$ を Minkowski 計量 $\eta_{\mu \nu} = \mathrm{diag.} ( -1, +1, +1, +1 )$ に対して $$\left\{ \gamma_\mu, \gamma_\nu \right\} = 2 \eta_{\mu \nu}$$ を満足するものとして定義します. 添え字の上げ下げは Minkowski 計量で行います. Peskin & Schroeder は Minkowski 計量の符号が逆 (mostly minus) で形式的に Clifford 代数の定義式が同じなので, このガンマ行列は本記事のガンマ行列を $i$ 倍したものになります. Srednicki (36.9) は Minkowski 計量の符号は mostly positive ですが, 上式の右辺ににマイナス符号がつくため, 結果的に Peskin & Schroeder のガンマ行列に一致します.

本記事では記号の混乱を避けるため, $D$ 次元 Euclid 空間におけるガンマ行列を $\Gamma_\mu$ と表記することにします. つまり, $\Gamma_\mu$ は $\delta_{\mu \nu}$ を Kronecker デルタとして $$\left\{ \Gamma_\mu, \Gamma_\nu \right\} = 2 \delta_{\mu \nu}$$ を満足する行列です. $\Gamma_\mu$ が得られたならば, $\gamma_\mu$ は $$\gamma_0 = i \Gamma_0 , \ \ \gamma_i = \Gamma_i$$ により構成することができます. なお $\Gamma_i$ に関しては添え字の上下は区別しません.

低次元

1次元

1次元空間ではガンマ行列は自明で, $\Gamma_0 = 1$ です.

3次元

2次元について見る前に3次元を先に見ます. というのも, Pauli 行列 $$\sigma_1 = \begin{pmatrix} & 1 \\\ 1 & \end{pmatrix} , \ \ \sigma_2 = \begin{pmatrix} & -i \\\ i & \end{pmatrix} , \ \ \sigma_3 = \begin{pmatrix} 1 & \\\ & -1 \end{pmatrix}$$ は良く知られた関係式 $$\sigma_i \sigma_j = \delta_{i j} + i \epsilon_{i j k} \sigma_k$$ を満足し, 従って $\Gamma_i = \sigma_i$ がただちに結論できるからです.

2次元

次に2次元の場合, すなわち行列 $\Gamma_1$, $\Gamma_2$ で $$\Gamma_1^2 = \Gamma_2^2 = 1 , \ \ \Gamma_1 \Gamma_2 = 0$$ を満足するものを求めます. これは1次の正方行列では不可能です. なぜならば, 1次の正方行列 (つまり単なる複素数) の場合, 第2式から $\Gamma_1$ と $\Gamma_2$ のどちらか一方は 0 であり, それ故に第1式を満足することはできません. なので2次の正方行列を用いる必要がありますが, これは Pauli 行列の任意のふたつによって達成されます.

4次元

4次元のガンマ行列としては Weyl 表現 (カイラル表現), Dirac 表現, Majorana 表現の3つの表現が頻繁に用いられます.

  • Weyl 表現 (カイラル表現) $$\gamma^0 = -i \begin{pmatrix} & 1 \\ 1 & \end{pmatrix} , \ \ \gamma^i = -i \begin{pmatrix} & \sigma_i \\ -\sigma_i & \end{pmatrix}$$
  • Dirac 表現 $$\gamma^0 = -i \begin{pmatrix} 1 & \\ & -1 \end{pmatrix} , \ \ \gamma^i = -i \begin{pmatrix} & \sigma_i \\ -\sigma_i & \end{pmatrix}$$
  • Majorana 表現 $$\gamma^0 = \begin{pmatrix} & -i\sigma_2 \\ -i\sigma_2 & \end{pmatrix} , \ \ \gamma^1 = \begin{pmatrix} \sigma_3 & \\ & \sigma_3 \end{pmatrix} , \ \ \gamma^2 = \begin{pmatrix} & i\sigma_2 \\ -i\sigma_2 & \end{pmatrix} , \ \ \gamma^3 = \begin{pmatrix} -\sigma_3 & \\ & -\sigma_3 \end{pmatrix}$$

一般次元

$D = 2 k$ 次元のとき, $2 k$ 個のガンマ行列 $\Gamma^i$ は $N = 2^k$ 次の正方行列であり, $u = 1, 2, \cdots, k$ に対して $$\Gamma_{ 2 u - 1 } = \underbrace{\sigma_3 \otimes \ldots \otimes \sigma_3}_{u-1} \otimes \sigma_1 \otimes \underbrace{1 \otimes \ldots \otimes 1}_{k - u}$$ $$\Gamma_{ 2 u } = \underbrace{\sigma_3 \otimes \ldots \otimes \sigma_3}_{u-1} \otimes \sigma_2 \otimes \underbrace{1 \otimes \ldots \otimes 1}_{k - u}$$ により与えられます. $D = 2 k + 1$ 次元のとき, これら $2 k$ 個のガンマ行列に $$\Gamma_{ 2 k + 1 } = \pm i^k \gamma_1 \cdots \gamma_{2 k}$$ を付け加えることにより得られます. 導出は Weinberg (32.A.10-11) を参照してください.

コード

この公式をもとにガンマ行列を計算し, それが正しく Clifford 関係式を満足することをチェックする Python コードはこちらです.

from sympy import Matrix, eye, I, latex
from sympy.physics.quantum.tensorproduct import TensorProduct

def clifford_relation(gammas):
    d = len(gammas)
    n = 2**(d//2)
    
    for gamma in gammas:
        assert gamma**2 == eye(n)

    for i in range(d):
        for j in range(i+1, d):
            assert gammas[i]*gammas[j] == - gammas[j]*gammas[i] 

def pow(mat, n):
    if n == 0:
        return 1
    elif n== 1:
        return mat
    else:
        return TensorProduct(pow(mat, n-1), mat)

def tricross(pre, mat, post):
    if pre == 1:
        if post == 1:
            return mat
        else:
            return TensorProduct(mat, post)
    else:
        if post == 1:
            return TensorProduct(pre, mat)
        else:
            return TensorProduct(TensorProduct(pre, mat), post)

sigma = [
    eye(2),
    Matrix([[0, 1], [1, 0]]),
    Matrix([[0, -I], [I, 0]]),
    Matrix([[1, 0], [0, -1]])
]

for k in range(1, 5):
    print("D =", 2*k)

    gammas = []

    for u in range(0, k):
        pre = pow(sigma[3], u)
        post = pow(sigma[0], k-u-1)

        gammas.append(
            tricross(pre, sigma[1], post)
        )
        print("$$\\Gamma_{{ {} }} =".format(2*u+1), latex(gammas[-1]), "$$")
        gammas.append(
            tricross(pre, sigma[2], post)
        )
        print("$$\\Gamma_{{ {} }} =".format(2*u+2), latex(gammas[-1]), "$$")

    clifford_relation(gammas)


    print("D =", 2*k+1)
    g = gammas[0]
    for i in range(1, 2*k):
        g = g * gammas[i]
    
    gammas.append(
        I**k * g 
    )
    print("$$\\Gamma_{{ {} }} =".format(2*k+1), latex(gammas[-1]), "$$")
    clifford_relation(gammas)

計算結果

D = 2 $$\Gamma_{ 1 } = \left[\begin{matrix}0 & 1\\1 & 0\end{matrix}\right] $$ $$\Gamma_{ 2 } = \left[\begin{matrix}0 & - i\\i & 0\end{matrix}\right] $$ D = 3 $$\Gamma_{ 3 } = \left[\begin{matrix}-1 & 0\\0 & 1\end{matrix}\right] $$ D = 4 $$\Gamma_{ 1 } = \left[\begin{matrix}0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 1\\1 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0\end{matrix}\right] $$ $$\Gamma_{ 2 } = \left[\begin{matrix}0 & 0 & - i & 0\\0 & 0 & 0 & - i\\i & 0 & 0 & 0\\0 & i & 0 & 0\end{matrix}\right] $$ $$\Gamma_{ 3 } = \left[\begin{matrix}0 & 1 & 0 & 0\\1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & -1\\0 & 0 & -1 & 0\end{matrix}\right] $$ $$\Gamma_{ 4 } = \left[\begin{matrix}0 & - i & 0 & 0\\i & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & i\\0 & 0 & - i & 0\end{matrix}\right] $$ D = 5 $$\Gamma_{ 5 } = \left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0\\0 & -1 & 0 & 0\\0 & 0 & -1 & 0\\0 & 0 & 0 & 1\end{matrix}\right] $$ D = 6 $$\Gamma_{ 1 } = \left[\begin{matrix}0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\end{matrix}\right] $$ $$\Gamma_{ 2 } = \left[\begin{matrix}0 & 0 & 0 & 0 & - i & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & - i & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & - i & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & - i\\i & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & i & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & i & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & i & 0 & 0 & 0 & 0\end{matrix}\right] $$ $$\Gamma_{ 3 } = \left[\begin{matrix}0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1\\0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0\end{matrix}\right] $$ $$\Gamma_{ 4 } = \left[\begin{matrix}0 & 0 & - i & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & - i & 0 & 0 & 0 & 0\\i & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & i & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & i & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & i\\0 & 0 & 0 & 0 & - i & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & - i & 0 & 0\end{matrix}\right] $$ $$\Gamma_{ 5 } = \left[\begin{matrix}0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\end{matrix}\right] $$ $$\Gamma_{ 6 } = \left[\begin{matrix}0 & - i & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\i & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & i & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & - i & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & i & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & - i & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & - i\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & i & 0\end{matrix}\right] $$ D = 7 $$\Gamma_{ 7 } = \left[\begin{matrix}-1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{matrix}\right] $$ D = 8 $$\Gamma_{ 1 } = \left[\begin{array}{cccccccccccccccc}0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right] $$ $$\Gamma_{ 2 } = \left[\begin{array}{cccccccccccccccc}0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & - i & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & - i & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & - i & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & - i & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & - i & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & - i & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & - i & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & - i\\i & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & i & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & i & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & i & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & i & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & i & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & i & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & i & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right] $$ $$\Gamma_{ 3 } = \left[\begin{array}{cccccccccccccccc}0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right] $$ $$\Gamma_{ 4 } = \left[\begin{array}{cccccccccccccccc}0 & 0 & 0 & 0 & - i & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & - i & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & - i & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & - i & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\i & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & i & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & i & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & i & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & i & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & i & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & i & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & i\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & - i & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & - i & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & - i & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & - i & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right] $$ $$\Gamma_{ 5 } = \left[\begin{array}{cccccccccccccccc}0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\end{array}\right] $$ $$\Gamma_{ 6 } = \left[\begin{array}{cccccccccccccccc}0 & 0 & - i & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & - i & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\i & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & i & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & i & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & i & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & - i & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & - i & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & i & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & i & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & - i & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & - i & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & - i & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & - i\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & i & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & i & 0 & 0\end{array}\right] $$ $$\Gamma_{ 7 } = \left[\begin{array}{cccccccccccccccc}0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0\end{array}\right] $$ $$\Gamma_{ 8 } = \left[\begin{array}{cccccccccccccccc}0 & - i & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\i & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & i & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & - i & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & i & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & - i & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & - i & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & i & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & i & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & - i & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & - i & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & i & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & - i & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & i & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & i\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & - i & 0\end{array}\right] $$ D = 9 $$\Gamma_{ 9 } = \left[\begin{array}{cccccccccccccccc}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right] $$

参考文献

  • Weinberg, The Quantum Theory of Fields, Volume 1, 3, Cambridge University Press
  • Woit, Quantum Theory, Groups and Representations, Springer
  • Srednicki, Quantum Field Theory, Cambridge University Press
  • Peskin & Schroeder, An Introduction To Quantum Field Theory, CRC Press